2014届高三数学一轮复习巩固与练习:变量间的相关关系及统计案例

标签: 复习 日期: 2016-05-25 15:22:38


    


巩固

1.下列选项中,两个变量具有相关关系的是( a.正方形的面积与周长 b.匀速行驶车辆的行驶路程与时间 c.人的身高与体重 d.人的身高与视力 答案:c

)

^

2.对有线性相关关系的两个变量建立 的回归直线方程y=a+bx 中,回归系数 b( ) a.不能小于 0 b.不能大于 0 c.



    

不能等于 0 d.只能小于 0 解析:选 c.∵b=0 时,r=0,这时不具有线性相关关系,但 b 能大于 0 也能小于 0. 3.(2009 年高考宁夏、海南卷)对变量 x、y 有观测数据(xi,yi)(i=1,2,,10),得 散点图 1;对变量 u,v 有观测数据(ui,vi)(i=1,2,,10),得散点图 2.由这两个散点图 可以判断( )

a.变量 x 与 y 正相关,u 与 v 正相关 b.变量 x 与 y 正相关,u 与 v 负相关 c.变量 x 与 y 负相关,u 与 v 正相关 d.变量 x 与 y 负相关,u 与 v 负相关 解析:选 c.由题图 1 可知,各点整体呈递减趋势,x 与 y 负相关,由题图 2 可知,各点 整体呈递增趋势,u 与 v 正相关.
^

4.已知回归方程y=4.4x+838.19,则可估计 x 与 y 的增长速度之比约为________. 1 10 5 解析:x 与 y 的增长速度之比即为回归方程的斜率的倒数 = = . 4.4 44 22 5 答案: 22 5.下面是一个 2×2 列联表 y1 y2 总计 a x1 21 73 x2 2 25 27 总计 b 46 则表中 a、b 处的值分别为________. 解析:∵a+21=73,∴a=52. 又∵a+2=b,∴b=54 . 答案:52、54
[来源:学科 网 zxxk]
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6.某企业为了更好地了解设备改造前后与生产合格品的关系,随机抽取了 180 件产品 进行分析,其中设备改造前的合格品有 36 件,不合格品有 49 件,设备改造后生 产的合格 品有 65 件,不合格品有 30 件.根据所给数据: (1)写出 2×2 列联表; (2)判断产品是否合格与设备改造是否有关. 解:(1)由已知数据得 合格品 不合格品 合计 设备改造后 65 30 95 设备改造前 36 49 85 合计 101 79 180 2 (2)根据列联表中数据,k 的观测值为 2 180×(65×49-36×30) k= ≈12.38. 101×79×85×95 由于 12.38>10.828,有 99.9%的把握认为产品是否合格与设备改造有关. 练习

1.下列关系属于线性负相关的是( ) a.父母的身高与子女身高的关系 b.球的体积与半径之间的关系 c.汽车的重量与汽车每消耗 1 l 汽油所行驶的平均路程 d.一个家庭的收入与支出 解析:选 c.a、d 中的两个变量属于线性正相关,b 中两个变量是函数关系.
^

2.下列有关回归直线方程y=bx+a 的叙述正确的是(
^

)

①反映y与 x 之间的函数关系; ②反映 y 与 x 之间的函数关系;
^

③表示y与 x 之间的不确定关系; ④表示最接近 y 与 x 之间真实关系的一条直线. a.①② b.②③ c.③④ d.①④
^ ^

解析:选 d.y=bx+a 表示y与 x 之间的函数关系,而不是 y 与 x 之间的函数关系;但它 反映的关系最接近 y 与 x 之间的真实关系,故选 d.
^

3.设有一个回归方程y=3-5x,变量 x 增加一个单位时( ) a.y 平均增加 3 个单位 b.y 平均减少 5 个单位 c.y 平均增加 5 个单位 d.y 平均减少 3 个单位 解析:选 b.∵-5 是斜率的估计值,说明 x 每增加一个单位,y 平均减少 5 个单位. 4.如果有 95%的把握说事件 a 和 b 有关系,那么具体计算出的数据( ) 2 2 a.k >3.841 b.k <3.841 2 2 c.k >6.635 d.k <6.635 2 2 2 解析:选 a.比较 k 的值和临界值的大小,95%的把握则 k >3.841,k >6.635 就约有 99%的把握. 5.对两个变量 y 和 x 进行回归分析,得到一组样本数据:(x1,y1),(x2,y2),,(xn, yn),则下列说法中不正确的是( ) .
^ ^ ^

a.由样本数据得到的回归方程y=bx+a必 过样本中心( x , y )

b.残差平方和越小的模型,拟合的效果越好 2 2 c.用相关指数 r 来刻画回归效果,r 越小,说明模型的拟合效果越好 d.若变量 y 和 x 之间的相关系数为 r=-0.9362,则变量 y 和 x 之间具有线性相关关 系 解析:选 c.c 中应为 r 越大拟合效果越好.
^ 2

6.已知回归方程y=2x+1,而试验得到一组数据是(2,4.9),(3,7.1),(4,9.1),则残 差平方和是( ) a.0.01 b.0.02 c.0 .03 d.0.04
^

解析:选 c.当 x=2 时,y=5,
^

当 x=3 时,y=7,
^

当 x=4 时,y=9.
^ ^

∴e1=4.9-5=-0.1,e2=7.1-7=0.1,
^

e3=9.1-9=0.1.
∴ e i =(-0.1) +(0.1) +(0.1) =0.03.
2 2 2 2 3 ^

i=1

7.如图所示,有 5 组(x,y)数据,去掉________组数据后,剩下的 4 组数据的线性相关 性最大.

解析:因为 a、b、c、e 四点分布在一条直线附近且贴近某一直线,d 点离得远. 答案:d 8.下列说法: ①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变;
[来源:学§科§网 z§x§x§k]

^

②回归方程y=bx+a 必过点( x , y ); ③曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系; 2 ④在一个 2×2 列联表中,由计算得 k =13.079,则其两个变量间有关系的可 能性是 90%. 其中错误的是________. 解析:①正确.由回归方程的定义及最小二乘法思想,知②正确.③④不正确. 答案:③④ 9.在 2009 年十一国庆 8 天黄金周期间,某市物价部门,对本市五个商场销售的某商品 的一天销售量及其价格进行调查, 五个商场的售价 x 元和销售量 y 件之间的一组数据如下表 所示: 价格 x 9 9.5 10 10.5 11

销售量 y 11 10 8 6 5 通过分析, 发现销售量 y 对商品的价格 x 具有线性相关关系, 则销售量 y 对商品的价格 x 的回归直线方程为________. 解析: 由数据表可得 x =10, y =8, 离差 x- x : -1, 0.5,0, - 0.5,1; 离差 y- y : 3,2,0,-2,-3. ^ -1×3-0.5×2-0.5×2-1×3 ∴b= =-3.2, 1+0.25+0+0.25+1
^ ^

a= y -b x =40,
^

∴回归直线方程为y=-3.2x+40.
^

答案:y=-3.2x+40 10.在某地区的 12~30 岁居民中随机抽取了 10 个人的身高和体重的统计资料如表: 身高(cm) 143 156 159 172 165 171 177 161 164 160 体重(kg) 41 49 61 79 68 69 74 69 68 54 根据上述数据,画出散点图并判断居民的身高和体重之间是否有相关关系. 解:以 x 轴表示身高,y 轴表示体重,可得到相应的散点图如图所示:

由散点图可知,两者之间具有相关关系,且为正相关. 11. (2009 年高考辽宁卷)某企业有两个分厂生产某种零件, 按规定内径尺寸(单位: mm) 的值落在[29.94,30.06)的零件为优质品.从两个分厂生产的零件中各抽出了 500 件,量其 内径尺寸,得结果如下表: 甲厂:

乙厂:

(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率; (2)由以上统计数据填下面 2×2 列联表,并问是否有 99%的把握认为“两个分厂生产的 零件的质量有差异”.
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甲厂 优质品 非优质品 合计 n(ad-bc)2 2 附k= , (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

乙厂

合计

360 解: (1)甲厂抽查的产品中有 360 件优质品, 从而甲厂生产的零件的优质品率估计为 500 =72%; 320 乙厂抽查的产品中有 320 件优质品,从而乙厂生产的零件的优质品率估计为 =64%. 500 (2) 甲厂 乙厂 合计 优质品 360 320 680 非优质品 140 180 320 合计 500 500 1000 2 1000×(360×180-320×140) k= ≈7.35>6.635, 500×500×680×320 所以有 99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”. 12.某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析 研究, 他们分别记录了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100 颗种子中 的发芽数,得到如下资料: 日期 12 月 1 日 12 月 2 日 12 月 3 日 12 月 4 日 12 月 5 日 温差 x(℃) 10 11 13 12 8 发芽数 y(颗) 23 25 30 26 16 该农科所确定的研究方案是: 先从这 5 组数据中选取 2 组, 用剩下的 3 组数据求线性回 归方程,再对被选取的 2 组数据进行检验. (1)求选取的 2 组数据恰好是不相邻 2 天数据的概率; (2)若选取的是 12 月 1 日与 12 月 5 日的 2 组数据,请根据 12 月 2 日至 12 月 4 日的数
[来源:学§科§网 z§x§x§k]

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据,求出 y 关于 x 的线性回归方程y=bx+a; (3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗,则认 为得到的线性回归方程是可靠的,试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠 解:(1)设抽到不相邻 2 组数据为事件 a,因为从 5 组数据中选取 2 组数据共有 10 种情 4 况,每种情况都是等可能出现的,其中抽到相邻 2 组数据的情况有 4 种,所以 p(a)=1- 10 3 = . 5 (2)由数据求得, x =12, y =27,由公式求得.
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b= ,a= y -b x =-3.
^ 5 所以 y 关于 x 的线性回归方程为y= x-3. 2

5 2

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^

^ 5 (3)当 x=10 时,y= ×10-3=22,|22-23|<2; 2 ^ 5 当 x=8 时,y= ×8-3=17,|17-16|<2. 2 所以该研究所得到的线性回归方程是可靠的.




    

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