【一本通】2014届高考数学一轮复习 第6章 变量间的相关关系与统计案例 理

标签: 相关 数学 日期: 2016-05-25 15:42:19


    


2014 届高考数学(理)一轮复习 6 变量间的相关关系与统计案例
一、选择题 1.设(x1,y1),(x2,y2),,(xn,yn)是变量 x 和 y 的 n 个样本点,直线 l 是由这 些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图),以下结论正确的是( a.x 和 y 的相关系数为直线 l 的斜率 b.x 和 y 的相关系数在 0 到 1 之间 c.当 n 为偶



    

数时,分布在 l 两侧的样本点的个数一定相同 d.直线 l 过点( x , y ) 解析:回归直线过样本中心( x , y ). 答案:d 2.通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表: 男 爱好 不爱好 总计 40 20 60 女 20 30 50 总计 60 50 110 )

n ad-bc 2 由k= a+b c+d a+c k2=
110× 40×30-20×20 60×50×60×50
2

2

b+d

算得,

≈7.8.

附表:

p(k2≥k) k

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

参照附表,得到的正确结论是(

)

a.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” b.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” c.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认 为“爱好该项运动与性别有关” d.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关” 解析:根据独立性检验的思想方法,正确选项为 a. 答案:a ︿ 3. 一位母亲记录了自己儿子 3~9 岁的身高数据(略), 由此建立的身高与年龄的回归模型为 y =7.19x +73.93,用这个模型预测这个孩子 10 岁时的身高,则正确的叙述是( )
1

a.身高一定是 145.83 cm b.身高在 145.83 cm 以上 c.身高在 145.83 cm 左右 d.身高在 145.83 cm 以下 ︿ 解析:用回归模型 y =7.19x+73.93,只能作预测,其结果不一定是一个确定值. 答案: c 4.如图 5 个(x,y)数据,去掉 d(3,10)后,下列说法错误的是( )

a.相关系数 r 变大 b.残差平方和变大 c.相关指数 r 变大 d.解释变量 x 与预报变量 y 的相关性变强 解析:相关系数 r 越接近 1,r 越大,残差平方和越小,拟合效果越好. 答案:b 5.某商品销售量 y(件)与销售价格 x(元/件)负相关,则其回归方程可能是( ︿ a. y =-10x+200 ︿ c. y =-10x-200 ︿ b. y =10x+200 ︿ d. y =10x-200 )
2 2

解析:由图象可知,选项 b、d 为正相关,选项 c 不符合实际意义,只有 a 项符合要求. 答案:a 6.下列四个命题正确的是( )

①线性相关系数 r 越大,两个变量的线性相关性越强;反之,线性相关性越弱; ②残差平方和越小的模型,拟合的效果越好; ③用相关指数 r 来刻画回归效果,r 越小,说明模型的拟合效果越好; ④随机误差 e 是衡量预报精确度的一个量,它满足 e(e)=0. a.①③ c.①④ b.②④ d.②③
2 2

解析:线 性相关系数 r 满足|r|≤1,并且|r|越接近 1,线性相关程度越强;|r|越接近 0,线性相关 程度越弱, 故①错误; ③相关指数是度量模型拟合效果的一种指标. 相关指数越大, 模型拟合效果越好. 故 ②④正确
2

答案:b 二、填空题 7.调查了某地若干户家庭的年收入 x(单位: 万元)和年饮食支出 y(单位:万元),调查显示年收入 x ︿ 与年饮食支出 y 具有线性相关关系,并由调查数据得到 y 对 x 的回归直线方程: y =0.254x+0.321.由回 归方程可知,家庭年收入每 增加 1 万元,年饮食支出平均增加________万元. ︿ ︿ 解析:以 x+1 代 x,得 y =0.254(x+1)+0.321,与 y =0.254x+0.321 相减可得,年饮食支出平均 增加 0.254 万元. 答案:0.254 8.某数学老师身高 176 cm,他爷爷、父亲和 儿子的身高分别是 173 cm、170 cm 和 182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 ________cm. 解析:设父亲身高为 x cm,儿子身高为 y cm,则

x y
- ︿

173 170

170 176

176 182

x =173, y =176, b =
- ︿-



︿ 0× -6 + -3 ×0+3×6 =1, 2 0 +9+9 ︿ ︿

a = y - b x =176-1×173=3,∴ y =x+3,当 x=182 时, y =185.

答案:185 9.第二十届世界石油大会将于 2011 年 12 月 4 日~8 日在卡塔尔首都多哈举行,能源问题已经成为全 球关注的焦点.某工厂经过技术改造后,降低了能源消耗,经统计该厂某种产品的产量 x (单位:吨)与相 应的生产能耗 y(单位:吨)有如下几组样本数据:

x y

3 2.5

4 3

5 4

6 4.5

根据相关性检验,这组样本数据具有线性相关关系,通过线性回归分析,求得回归直线的斜率为 0.7. 已知该产品的年产量为 10 吨,则该工厂每年大约消耗的汽油为________吨. - 3+4+5+6 - 2.5+3+4+4.5 解析:由题知, x = = 4.5 , y = = 3.5 , 故 样 本 数 据 的 中 心 点 为 4 4

a(4.5,3.5).设回归方程为 y=0.7x+b,将中心点坐标代入得:3.5=0.7×4.5+b,解得 b=0.35,故回
归方程为 y=0.7x+0.35,所以当 x=10 时,y=0.7×10+0.35=7.35,即该工厂每年大约消耗的汽油为 7.35 吨. 答案:7.35 三、解答题 10.已知 x,y 的一组数据如下表:
3

x y

1 1

3 2

6 3

7 4

8 5

(1)从 x,y 中各取一个数,求 x+y≥10 的概率; 1 1 1 (2)对于表中数据,甲、乙两同学给出的拟合直线分别为 y= x+1 与 y= x+ ,试利用“最小平方法 3 2 2 (也称最小二乘法)”判断哪条直线拟合程度更好. 解:(1)从 x,y 中各取一个数组成数对(x,y),共有 25 对,其中满足 x+y≥10 的有(6,4),(6,5), (7,3),(7,4),(7,5),(8,2),(8,3),(8,4),(8,5),共 9 对.故所求概率 p= 9 . 25

1 4 2 2 (2)用 y= x+1 作为拟合直线时,所得 y 值与 y 的实际值的差的平方和为 s1=( -1) +(2-2) +(3 3 3 10 11 7 2 2 2 -3) +( -4) +( -5) = . 3 3 3 1 1 7 2 2 2 用 y= x+ 作为拟合直线时,所得 y 值与 y 的实际值的差的平方和为 s2=(1-1) +(2-2) +( -3) 2 2 2 9 1 2 2 +(4-4) +( -5) = . 2 2 1 1 ∵s2<s1,∴直线 y= x+ 的拟合程度更好. 2 2 11.为了分析某个高三学生的学习状态,对其下一阶段的学习 提供指导性建议.现对他前 7 次考试的 数学成绩 x、物理成绩 y 进行分析.下面是该生 7 次考试的成绩. 数学 物理 88 94 83 91 117 108 92 96 108 104 100 101 112 106

(1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定请给出你的证明; (2)已知该生的物理成绩 y 与数学成绩 x 是线性相关的,若该生的物理成绩达到 115 分,请你估计他 的数学成绩大约是多少并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性,给出该生在学习数学、物理上的合理


︿ ︿ ︿ ︿ 建议. (其中, 数据(xi, i)(i=1,2, n)的线性回归方程为 y = b x+ a ,b = y ,
i=1

n

xi- x yi- y



- ,



i=1

n

- xi- x

2

︿

a=y-b x)
-12-17+17-8+8+12 - 解:(1)∵ x =100+ =100, 7 -

- ︿-

y =100+

-6-9+8-4+4+1+6 =100, 7

4

∴s数学=
2

2

994 250 2 =142,∴s物理= , 7 7
2

从而 s数学>s物理,∴该生的物理成绩更稳定. (2)由于 x 与 y 之间具有线性相关关系,
7


︿ ∴b=

i=1

xiyi-7 x y
7 2 2 i=1


- - -2 = 497 ︿ - ︿- =0.5, a = y - b x =100-0.5×100=50, 994

x -7 x

︿ ∴线性回归方程为 y =0.5x+50.当 y=115 时,x=130. 建议: 进一步加强对数学的学习,提高数学成绩的稳定性,这将有助于物理成绩的进一步提高. 12.某学生对其亲属 30 人的饮食习惯进行了一次调查,并用如图所示的茎叶图表示 30 人的饮食指 数.(说明:图中饮食指数低于 7 0 的人,饮食以蔬菜为主;饮食指数高于 70 的人,饮食以肉类为主.) 甲(50 岁以下) 2 1 5 3 8 6 7 8 4 3 4 5 6 7 8 9 (1)根据茎叶图,帮助这位学生说明其亲属 30 人的饮食习惯; (2)根据以上数据完成下列 2×2 的列联表: 主食蔬菜 50 岁以下 50 岁以上 合计 主食肉类 合计 0 2 4 8 1 5 8 1 5 3 7 5 2 6 7 6 9 6 乙(50 岁以上)

5 3 2 0

(3)能否有 99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关,并写出简要分析.

n ad-bc 2 附:k = a+b c+d a+c p(k2
≥k0) 0.25 0.15 0.10

2

b+d

.

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

5

k0

1.32 3

2.07 2

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.82 8

解:(1)在 30 位亲属中,5 0 岁以上的人多以食蔬菜为主,50 岁以下的人多以食肉为主. (2)2×2 的列联表如下: 主食蔬菜 50 岁以下 50 岁以上 合计
2

主食肉类 8 2 10

合计 12 18 30

4 16 20

30× 8-128 30×120×120 2 (3)因为 k = = =10>6.635, 12×18×20×10 12×18×20×10 所以有 99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关

6




    

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